viernes, 28 de mayo de 2010

LABORATORIO ONDAS EN UNA CUERDA

INTRODUCCIÓN

La velocidad de propagación de una onda depende del medio. La fórmula de la velocidad de propagación puede ser derivada de las Leyes de Newton, cuyo resultado es el siguiente:
V= (F/μ)1/2
Donde F es la tensión a la que la cuerda está sometida, y μ es la densidad lineal de masa.

Al producir la perturbación del medio (moviendo la cuerda hacia arriba y hacia abajo con un movimiento armónico simple) producimos un tren de ondas senoidales que se propaga a través de la misma. Denominamos a esta onda trasmitida como “transversal”, debido a que se cada punto de la cuerda se mueve en dirección perpendicular a la dirección en que se propaga la onda.
Llamamos longitud de onda “L” a la distancia en el espacio en la cual la onda repite su forma (período “T”). Al propagarse la onda a lo largo de la cuerda, cada punto de la misma se mueve hacia arriba y abajo con un movimiento armónico simple y a una frecuencia “f”. Durante un período (T=1/f) la onda se mueve una distancia equivalente a una longitud de onda.

Al producir la perturbación en el caso de cuerdas fijas en ambos extremos se generan ondas que se propagan a través de la misma y se reflejan. Estas ondas reflejadas tienen idéntica velocidad y frecuencia pero son de sentido contrario. Como resultado de la interferencia de éstas ondas se produce lo denominado patrón de ondas estacionarias. Las frecuencias resultantes de este patrón son las llamadas frecuencias de resonancia del sistema.

OBJETIVOS
  • Observar la variaciòn del numero de ondas en relacion con el aumento de la frecuencia.
  • Medir frecuencia fundamental y de algunos sobretonos.

MATERIALES

  • Vibrador Pasco
  • Generador de onda Pasco
  • Tensor con cuerda
  • 3 cables cortos
  • Banana
  • Pesa de 50 gr
  • CuerdaRegla de 1 m
  • Balanza


MARCO TEORICO

Un patrón de ondas estacionarias en una cuerda, se produce cuando uno de sus extremos se conecta a un sistema de vibración y es tensionada mediante pesas que se suspenden del otro extremo como se muestra en la figura No 1. El sistema de vibración genera en la cuerda ondas transversales que se propagan a lo largo de ella y al reflejarse desde la polea se superponen produciendo un patrón de interferencia estable que varía de acuerdo a la tensión a la que es sometida la cuerda. Los puntos en donde la interferencia constructiva alcanza su máximo valor se denominan antinodos y aquellos en donde la interferencia es destructiva se denominan nodos.

La distancia entre dos nodos o dos antinodos sucesivos es igual a media longitud de onda y las longitudes de onda permitidas en una cuerda con ambos extremos fijos están relacionadas con la longitud de la cuerda por medio de la relación: λn= 2L/n , donde n es un numero entero (1,2,3,…)

La velocidad de propagación de una onda se puede calcular mediante la relación: v=λf (1)

Donde λ y f son la longitud de onda y la frecuencia.
La velocidad de propagación de una onda transversal en una cuerda depende de la magnitud de la tensión T a la cual es sometida:

V=la raíz de T/µ (2)

Donde µ es la densidad lineal de la cuerda.

La frecuencia del modo de vibración de una cuerda se determina según el número de vientres o antinodos que se forman, mediante la expresión:

fn= n/2LV= n/2L raíz de T/µ, donde n= 1,2,3,… (3)

Si la cuerda se mueve hacia arriba y hacia abajo constantemente, se produce un tren de ondas u onda continua que se propaga por la cuerda.Una onda transversal es una onda en movimiento que se caracteriza porque sus oscilaciones ocurren perpendiculares a la dirección de prolongación. Si una onda transversal se mueve en el plano x-positivo, sus, oscilaciones van en dirección arriba y abajo que están en el plano y-z. Manteniendo una traza comparamos la magnitud del desplazamiento en instantes sucesivos y se aprecia el avance de la onda. Transcurrido un tiempo la persistencia de la traza muestra como todos los puntos pasan por todos los estados de vibración.Sin embargo para conocer cómo cambia el desplazamiento con el tiempo resulta más práctico observar otra gráfica que represente el movimiento de un punto. Los puntos en fase con el seleccionado vibran a la vez y están separados por una longitud de onda. La velocidad con que se propaga la fase es el cociente entre esa distancia y el tiempo que tarda en llegar. Cualquier par de puntos del medio en distinto estado de vibración están desfasados y si la diferencia de fase es 90º diremos que están oposición. En este caso los dos puntos tienen siempre valor opuesto del desplazamiento como podemos apreciar en el registro temporal. Este tipo de onda transversal igualmente podría corresponder a las vibraciones del campo eléctrico y magnético en las ondas electromagnéticas. Una onda electromagnética que puede propagarse en el espacio vacío no produce desplazamientos puntuales de masa. Son ondas transversales cuando una onda por el nodo se junta con la cresta y crea una gran vibración.Vamos a analizar la propagación de un movimiento ondulatorio en una cuerda sometida a una tensión y a determinar la velocidad de propagación de las ondas transversales que se forman en la misma.La onda se propaga con una velocidad constante a lo largo de la cuerda. Si pinchamos una cuerda de guitarra y soltamos, se forma una onda que se propaga por la cuerda y rebota en los puntos de sujeción.Se propaga con una velocidad que depende de la tensión del pellizco y de la masa por unidad de longitud de la cuerda. A igualdad de pellizco la velocidad de la onda en una "prima"-la cuerda inferior de la guitarra y más delgada- no es igual a aquella con que se propaga en un "bordón". Los elementos materiales de la cuerda se mueven perpendicularmente a ella, arriba y abajo, con velocidad variable dada por la ecuación de un movimiento vibratorio armónico simple, pero no se desplazan a lo largo de ella. La onda se propaga por la cuerda con una velocidad constante que depende del impulso que se le aplica y del grosor de la cuerda.

PROCEDIMIENTO Y EXPERIENCIAS

Montaje del experimento
Se realizo el arme de el montaje con el vibrador con sus respectivos elementos se alinea la cuerda y en uno de los extremo se le coloca una carga, la amplitud del generador se pone en cero girándola en contrarreloj.

Para la cuerda variamos la frecuencia del emisor acústico desde el generador de funciones comenzando desde cero y hallando por lo menos tres frecuencias dónde se observe resonancia. Observaremos la cantidad de nodos para cada frecuencia armónica. Figura 6.

Datos tomados:

L=1.00m λ=25cm

Tabla de datos

Sobretono V^´ (Hz) Λ^´(m)

f 15 λ/2

f 15 λ/2

1 30 2λ/2

1 30.5 2λ/2

2 45 3λ/2

2 45.5 3λ/2

Longitud de la cuerda

L^´= L±∆LL^´= 1.00m±0.00100m

Hallamos la velocidad

v= λf

λ= 25cm=0.25m f=45Hz

Hallemos v^´=λ^´ f^´

λ^´= λ ±∆λ

λ^´= 0.25m ±0.000025m

De la misma manera para hallar f^´=f ±∆f

f^´=45Hz±1Hz

v^´=(λ ±∆λ )(f ±∆f)

v^´=(0.25m±0.000025m)(45Hz±1Hz)

v^´=(0.25m*45Hz)±(0.25m*45Hz)(0.000025m/0.25m+1Hz/45Hz)

v^´=(11.25)±(0.25*45)(0.000025/0.25+1/45)

v^´=(11.25)±( 11.25)(0.000025/0.25+1/45 )

v^´=(11.25)±(11.25)(0.000025/0.25+1/45)

v^´=(11.25)±( 11.25)(0.0001+0.0222)

v^´=(11.25)±(11.25)(0.0223)

v^´=(11.25)±(0.25)m/s

Hallamos µ despejando en la siguiente fórmula:

v=√(T/µ)

v=√T/√(µ)

√(µ)=√T/v

µ=T/v^2

Siendo T la tensión de la cuerda

T=mg

m la masa de la esfera

m=50g=0.05kg

g la fuerza de la gravedad

g=9.8m/s^2

Pero debemos hallar

T^´=m^´ g^´

m^´=m±∆m

m^´=50±1g=0.05±0.001kg

g^´=g±∆g

g^´=9.8±0.1m/s^2

Entonces

T^´=(m±∆m)(g±∆g)

T^´= (0.05±0.001kg)(9.8±0.1m/s^2)

T^´=(0.05*9.8)±(0.05*9.8)(0.001/0,05+0.1/9.8)

T^´=(0.05*9.8)±(0.05*9.8)(0.001/0.05+0.1/9.8)

T^´=(0.49) ± (0.49) (0.02+0.01)

(T^´)^"= (0.49) ± (0.49) (0.03)

T^´=0.49±0.01N

Reemplazamos T en

µ=T/v^2

Tenemos que

µ= (0.49±0.01N)/(11.25)±(0.25)m/s ^2

µ=0.49/(11.25) y ∆µ=0.49/(11.25)*√((0.01/0.49)^2+(0.25/11.25)^2)

µ=0.04 y ∆µ=0.04√ (0.0004+0.0004)

µ=0.04y ∆µ=0.04√0.0008

µ=0.04y ∆µ=0.025

µ^´=0.04±0.025

Calculamos V^´y ∆V para cada caso.

Tabla de Datos

Sobretono V^´ (Hz) Λ^´(m)

F 15 λ/2

F 15 λ/2

1 30 2λ/2

1 30.5 2λ/2

2 45 3λ/2

2 45.5 3λ/2

Con los datos, procedemos a calcular V^´y ∆V

V^´= (15+16)/2=15.5Hz

∆V= (16-15)/2=0.5Hz

V^"=V±∆V

V^´=15.5±0.5Hz

Frecuencia del primer Sobretono

V^´=(30+30.5)/2=30.25Hz

∆V=(30.5-30)/2=0.25Hz

V^´=V±∆V

V^´=30.25±0.25Hz

Frecuencia del segundo Sobretono

V^´=(45+45.5)/2=45.25Hz

∆V=(45.5-45)/2=0.25Hz

V^´=V±∆V

V^´=45.25±0.25Hz

Calculamos los λ para cada Sobretono (λ^´ (m))

λ^´/2=25cm/2=12.5±0.1cm

Primer Sobretono

(2λ^´)/2=λ=25±0.1cm

Segundo Sobretono

(3λ^´)/2=(3*25)/2 cm =37.5±0.1 cm

Calculamos la velocidad de onda v^´ (m/s)

(v^´)_1= (12.5±0.1cm)( 15.5±0.5Hz)

(v^´)_1= (12.5*15.5)±(12.5*15.5)(0.1/12.5 +0.5/15.5 )

(v^´)_1= (193.75)±( 193.75)(0.1/12.5+0.5/15.5)

(v^´)_1= (193.75)±( 193.75)(0.008+0.032)

(v^´)_1= (193.75)±( 193.75)(0.008+0.032)

(v^´)_1= (193.75)±( 193.75)(0.04)

(v^´)_1=(193.75)±(7.75)m/s

Velocidad del primer Sobretono

(v^´)_2= (25±0.1cm)( 30.25±0.25Hz)

(v^´)_2= (25*30.25)±(25*30.25)(0.1/25 +0.25/30.25 )

(v^´)_2= (756.25)±(756.25)(0.1/25+0.25/30.25)

(v^´)_2= (756.25)±( 756.25)(0.004+0.008)

(v^´)_2= (756.25)±( 756.25)(0.012)

(v^´)_2=(756.25)±(9.075)m/s

Velocidad del segundo Sobretono

(v^´)_3= (37.5cm±0.1)( 45.25±0.25Hz)

(v^´)_3= (37.5*45.25)±( 37.5*45.25)(0.1/37.5 +0.25/45.25 )

(v^´)_3= (1696.8)±( 1696.8)(0.1/37.5+0.25/45.25)

(v^´)_3= (1696.8)±( 1696.8)(0.002+0.005)

(v^´)_3= (1696.8)±( 1696.8)(0.007)

(v^´)_3=(1696.8)±(11.87)cm/s

Calculamos V^´/V_f^´

Para el primer Sobretono

V^`/(V_f^´ )= ( 30.25±0.25)/( 15.5±0.5)

V^`/(V_f^´ )= 30.25/15.5±30.25/15.5 (0.25/30.25 +0.5/15.5 )

V^`/(V_f^´ )= 1.95±1.95(0.25/30.25+0.5/15.5)

V^`/(V_f^´ )= 1.95±1.95(0.008+0.032)

V^`/(V_f^´ )= 1.95±1.95(0.04)

V^`/(V_f^´ )=1.95±0.078

Para el segundo Sobretono

V^`/(V_f^´ )= ( 45.25±0.25)/(15.5±0.5)

V^`/(V_f^´ )= 45.25/15.5±45.25/15.5 (0.25/45.25 +0.5/15.5 )

V^`/(V_f^´ )= 2.91±2.91(0.25/45.25+0.5/15.5)

V^`/(V_f^´ )= 2.91±2.91(0.005+0.032)

V^`/(V_f^´ )= 2.91±2.91(0.037)

V^`/(V_f^´ )=2.91±0.10

Completamos la tabla con los cálculos obtenidos

Sobretono V^´ (Hz) λ^´(cm) v^´ (m/s) V^´/V_f^´

f 15.5±0.5 12.5±0.1 (193.75)±(7.75) NO

1 30.25±0.25 25±0.1 (756.25)±(9.075) 1.95±0.078

2 45.25±0.25 37.5±0.1 (1696.8)±(11.87) 2.91±0.10

Valores esperados de la velocidad y las frecuencias

Sobretono Para la frecuencia(HZ) Para la velocidad(m/s)

F 1.75±0.56

1 3.5±1.12

2 5.25±1.6

Con los siguientes datos, podremos llenar la anterior tabla.

Hallamos la velocidad con la siguiente formula

(v_esp)^'=√(T^'/µ^')

T^´=0.49±0.01N

µ^=0.04±0.025

(v_esp)^'= √(T^,/µ^,)

(v_esp)^'= √((0.49±0.01N)/(0.04±0.025))

(v_esp)^'= √(0.49/0,04) ±√(0.49/0.04) (0.01/20.49 +0.025/20.04 )

(v_esp)^'= 3.5±3.5 (0.01/(2*0.49)+0.025/(2*0.04))

(v_esp)^'= 3.5±3.5 (0.01/0.98+0.025/0.08)

(v_esp)^'= 3.5±3.5 (0.010+0.312)

(v_esp)^'= 3.5±3.5 (0.32)

(v_esp)^'=3.5±1.12

Hallamos la frecuencia fundamental

V_(f esp)^´=(v_esp^´ )/(2L)^´

V_(f esp)^´= (3.5±1.12)/2(1.00±0.00100)

V_(f esp)^´= (4.04±1.92)/((2.00±0.002 ) )

V_(f esp)^´= 3.5/2.00±3.5/2.00 (1.12/3.5 ±0.002/2.00 )

V_(f esp)^´= 1.75±1.75(1.12/3.5±0.002/2.00)

V_(f esp)^´= 1.75±1.75(0.32±0.001)

V_(f esp)^´= 1.75±1.75 (0.32)

V_(f esp)^´= 1.75±0.56

Frecuencia esperada para el primer Sobretono

(v_esp) ^'=2(v_esp)^'

(v_esp)^'=2(1.75±0.56)

(v_esp)^'=3.5±1.12m/s

Frecuencia esperada para el segundo Sobretono

(v_esp) ^'=3(v_esp) ^'

(v_esp) ^'=3(1.75±0.56)

(v_esp)^'=5.25±1.68m/s

PREGUNTAS

¿Es dispersiva la cuerda para las frecuencias utilizadas?

Como la velocidad de propagación de las ondas también depende de las características físicas del medio, aquí podemos decir que el medio es dispersivo podemos decir que la cuerda es dispersiva.

¿Se espera, teóricamente, que v en la cuerda dependa de la frecuencia?

Si se espera que dependa ya que en la formula de velocidad depende de la frecuencia y landa la longitud de onda.

¿Son armónicos, y de que orden, los sobre tonos 1 y 2?

Como se obtuvieron frecuencia aproximados a 15, 30 y 45 Hz tanto que la serie armónica es una secuencia. Si, son armónicos de orden uno y de orden dos los sobre tonos.


CONCLUSIONES

Al terminar el experimento podemos concluir que las ondas estacionarias se producen al tener bien definidas la tensión, la longitud del factor causante con el extremo reflector. El λ teórico es solo una ayuda para encontrar el adecuado para producir ondas estacionarais, ya que el medio y el vibrador no son perfectos y cuentan con variaciones en sus acciones.

La longitud de onda puede variar en un mismo sistema siempre y cuando encuentre otro punto de resonancia.
En una onda estacionaria el patrón de la onda no se mueve, pero si lo hacen los elementos de la cuerda.
Si las frecuencias asociadas son muy altas las velocidades también lo serán.

1 comentario:

  1. mmmmmmmm te trabajo tan largo cuando lo necesite lo leo todo jajajajaja

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